關(guān)于圓周率π的計(jì)算歷程

關(guān)于圓周率π的計(jì)算歷程

　　圓周率是一個(gè)極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個(gè)數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個(gè)非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計(jì)算問題。僅憑這一點(diǎn)，求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值，就是一個(gè)極其迫切的問題了。事實(shí)也是如此，幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動(dòng)。回顧歷史，人類對(duì) π 的認(rèn)識(shí)過程，反映了數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)發(fā)展情形的一個(gè)側(cè)面。 π 的研究，在一定程度上反映這個(gè)地區(qū)或時(shí)代的數(shù)學(xué)水平。德國(guó)數(shù)學(xué)史家康托說："歷史上一個(gè)國(guó)家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個(gè)國(guó)家當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)。"直到19世紀(jì)初，求圓周率的值應(yīng)該說是數(shù)學(xué)中的頭號(hào)難題。為求得圓周率的值，人類走過了漫長(zhǎng)而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計(jì)算歷程分為幾個(gè)階段。

　　阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現(xiàn)在他的一篇論文《圓的測(cè)定》之中。在這一書中，阿基米德第一次創(chuàng)用上、下界來確定 π 的近似值，他用幾何方法證明了"圓周長(zhǎng)與圓直徑之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) "，他還提供了誤差的估計(jì)。重要的是，這種方法從理論上而言，能夠求得圓周率的更準(zhǔn)確的值。到公元150年左右，希臘天文學(xué)家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進(jìn)步。

　　在我國(guó)，首先是由數(shù)學(xué)家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前后，劉徽提出著名的割圓術(shù)，得出 π ＝3.14，通常稱為"徽率"，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內(nèi)接同時(shí)又用外切正多邊形簡(jiǎn)捷得多。另外，有人認(rèn)為在割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致于他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過簡(jiǎn)單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計(jì)算得出這個(gè)結(jié)果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術(shù)是割圓術(shù)中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由于人們對(duì)它缺乏理解而被長(zhǎng)期埋沒了。
　　恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻(xiàn)吧。對(duì)此，《隋書·律歷志》有如下記載："宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。"
　　這一記錄指出，祖沖之關(guān)于圓周率的兩大貢獻(xiàn)。其一是求得圓周率
　　　　3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927
　　其二是，得到 π 的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)即：約率為22／7；密率為355／113。
　　他算出的 π 的8位可靠數(shù)字，不但在當(dāng)時(shí)是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致于有數(shù)學(xué)史家提議將這一結(jié)果命名為"祖率"。
　　這一結(jié)果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基于對(duì)劉徽割圓術(shù)的繼承與發(fā)展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當(dāng)我們稱頌祖沖之的功績(jī)時(shí)，不要忘記他的成就的取得是因?yàn)樗驹跀?shù)學(xué)偉人劉徽的肩膀上的緣故。后人曾推算若要單純地通過計(jì)算圓內(nèi)接多邊形邊長(zhǎng)的話，得到這一結(jié)果，需要算到圓內(nèi)接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡(jiǎn)化計(jì)算呢？這已經(jīng)不得而知，因?yàn)橛涊d其研究成果的著作《綴術(shù)》早已失傳了。這在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上是一件極令人痛惜的事。

　　祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽(yù)：巴黎"發(fā)現(xiàn)宮"科學(xué)博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學(xué)禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環(huán)形山……
　　對(duì)于祖沖之的關(guān)于圓周率的第二點(diǎn)貢獻(xiàn)，即他選用兩個(gè)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)尤其是用密率來近似地表示 π 這一點(diǎn)，通常人們不會(huì)太注意。然而，實(shí)際上，后者在數(shù)學(xué)上有更重要的意義。
　　密率與 π 的近似程度很好，但形式上卻很簡(jiǎn)單，并且很優(yōu)美，只用到了數(shù)字1、3、5。數(shù)學(xué)史家梁宗巨教授驗(yàn)證出：分母小于16604的一切分?jǐn)?shù)中，沒有比密率更接近 π 的分?jǐn)?shù)。在國(guó)外，祖沖之死后一千多年，西方人才獲得這一結(jié)果。
　　可見，密率的提出是一件很不簡(jiǎn)單的事情。人們自然要追究他是采用什么辦法得到這一結(jié)果的呢？他是用什么辦法把圓周率從小數(shù)表示的近似值化為近似分?jǐn)?shù)的呢？這一問題歷來為數(shù)學(xué)史家所關(guān)注。由于文獻(xiàn)的失傳，祖沖之的求法已不為人知。后人對(duì)此進(jìn)行了各種猜測(cè)。
　　讓我們先看看國(guó)外歷史上的工作，希望能夠提供出一些信息。
　　1573年，德國(guó)人奧托得出這一結(jié)果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結(jié)果377／120用類似于加成法"合成"的：(377-22) / (120-7) = 355/113。
　　1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用兩者作為 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結(jié)果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。
　　兩個(gè)雖都得出了祖沖之密率，但使用方法都為偶合，無理由可言。
　　在日本，十七世紀(jì)關(guān)孝和重要著作《括要算法》卷四中求圓周率時(shí)創(chuàng)立零約術(shù)，其實(shí)質(zhì)就是用加成法來求近似分?jǐn)?shù)的方法。他以3、4作為母近似值，連續(xù)加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學(xué)生對(duì)這種按部就班的笨辦法作了改進(jìn)，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，（實(shí)際上就是我們前面已經(jīng)提到的加成法）這樣從3、4出發(fā)，六次加成到約率，第七次出現(xiàn)25／8，就近與其緊鄰的22／7加成，得47／15，依次類推，只要加成23次就得到密率。
　　錢宗琮先生在《中國(guó)算學(xué)史》（1931年）中提出祖沖之采用了我們前面提到的由何承天首創(chuàng)的"調(diào)日法"或稱加權(quán)加成法。他設(shè)想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，并計(jì)算加成權(quán)數(shù)x=9，于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一舉得到密率。錢先生說："沖之在承天后，用其術(shù)以造密率，亦意中事耳。"
　　另一種推測(cè)是：使用連分?jǐn)?shù)法。
　　由于求二自然數(shù)的最大公約數(shù)的更相減損術(shù)遠(yuǎn)在《九章算術(shù)》成書時(shí)代已流行，所以借助這一工具求近似分?jǐn)?shù)應(yīng)該是比較自然的。于是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數(shù)之后，再使用這個(gè)工具，將3.14159265表示成連分?jǐn)?shù)，得到其漸近分?jǐn)?shù)：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…
　　最后，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至于上面圓周率漸近分?jǐn)?shù)的具體求法，這里略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國(guó)李約瑟博士持這一觀點(diǎn)。他在《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說："密率的分?jǐn)?shù)是一個(gè)連分?jǐn)?shù)漸近數(shù)，因此是一個(gè)非凡的成就。"
　　我國(guó)再回過頭來看一下國(guó)外所取得的成果。
　　1150年，印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二計(jì)算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞細(xì)亞地區(qū)的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡西著《圓周論》，計(jì)算了3×2²⁸＝805,306,368邊內(nèi)接與外切正多邊形的周長(zhǎng)，求出 π 值，他的結(jié)果是：
　　 π＝3.14159265358979325
　　有十七位準(zhǔn)確數(shù)字。這是國(guó)外第一次打破祖沖之的記錄。
　　16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)利用阿基米德的方法計(jì)算 π 近似值，用 6×2¹⁶正邊形，推算出精確到9位小數(shù)的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法，但韋達(dá)卻擁有比阿基米德更先進(jìn)的工具：十進(jìn)位置制。17世紀(jì)初，德國(guó)人魯?shù)婪蛴昧藥缀跻簧臅r(shí)間鉆研這個(gè)問題。他也將新的十進(jìn)制與早的阿基米德方法結(jié)合起來，但他不是從正六邊形開始并將其邊數(shù)翻番的，他是從正方形開始的，一直推導(dǎo)出了有2⁶²條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數(shù)35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國(guó)圓周率 π 被稱為"魯?shù)婪驍?shù)"。但是，用幾何方法求其值，計(jì)算量很大，這樣算下去，窮數(shù)學(xué)家一生也改進(jìn)不了多少。到魯?shù)婪蚩梢哉f已經(jīng)登峰造極，古典方法已引導(dǎo)數(shù)學(xué)家們走得很遠(yuǎn)，再向前推進(jìn)，必須在方法上有所突破。
　　17世紀(jì)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析，這銳利的工具使得許多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題迎刃而解。 π 的計(jì)算歷史也隨之進(jìn)入了一個(gè)新的階段。

　　1973年，有人就把圓周率算到了小數(shù)點(diǎn)后100萬位，并將結(jié)果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。1989年突破10億大關(guān)，1995年10月超過64億位。1999年9月30日，《文摘報(bào)》報(bào)道，日本東京大學(xué)教授金田康正已求到2061.5843億位的小數(shù)值。如果將這些數(shù)字打印在A4大小的復(fù)印紙上，令每頁印2萬位數(shù)字，那么，這些紙摞起來將高達(dá)五六百米。來自最新的報(bào)道：金田康正利用一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)，計(jì)算出圓周率小數(shù)點(diǎn)后一兆二千四百一十一億位數(shù)，改寫了他本人兩年前創(chuàng)造的紀(jì)錄。據(jù)悉，金田教授與日立制作所的員工合作，利用目前計(jì)算能力居世界第二十六位的超級(jí)計(jì)算機(jī)，使用新的計(jì)算方法，耗時(shí)四百多個(gè)小時(shí)，才計(jì)算出新的數(shù)位，比他一九九九年九月計(jì)算出的小數(shù)點(diǎn)后二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數(shù)點(diǎn)后第一兆位數(shù)是二，第一兆二千四百一十一億位數(shù)為五。如果一秒鐘讀一位數(shù)，大約四萬年后才能讀完。
　　不過，現(xiàn)在打破記錄，不管推進(jìn)到多少位，也不會(huì)令人感到特別的驚奇了。實(shí)際上，把 π 的數(shù)值算得過分精確，應(yīng)用意義并不大?，F(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的 π 值，有十幾位已經(jīng)足夠。如果用魯?shù)婪虻?5位小數(shù)的 π 值計(jì)算一個(gè)能把太陽系包圍起來的圓的周長(zhǎng)，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐克姆的話來說明這種計(jì)算的實(shí)用價(jià)值：
　　"十位小數(shù)就足以使地球周界準(zhǔn)確到一英寸以內(nèi)，三十位小數(shù)便能使整個(gè)可見宇宙的四周準(zhǔn)確到連最強(qiáng)大的顯微鏡都不能分辨的一個(gè)量。"
　　那么為什么數(shù)學(xué)家們還象登山運(yùn)動(dòng)員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對(duì) π 的探索呢？為什么其小數(shù)值有如此的魅力呢？
　　這其中大概免不了有人類的好奇心與領(lǐng)先于人的心態(tài)作怪，但除此之外，還有許多其它原因。

　　1、它現(xiàn)在可以被人們用來測(cè)試或檢驗(yàn)超級(jí)計(jì)算機(jī)的各項(xiàng)性能，特別是運(yùn)算速度與計(jì)算過程的穩(wěn)定性。這對(duì)計(jì)算機(jī)本身的改進(jìn)至關(guān)重要。就在幾年前，當(dāng)Intel公司推出奔騰（Pentium）時(shí)，發(fā)現(xiàn)它有一點(diǎn)小問題，這問題正是通過運(yùn)行 π 的計(jì)算而找到的。這正是超高精度的 π 計(jì)算直到今天仍然有重要意義的原因之一。
　　2、 計(jì)算的方法和思路可以引發(fā)新的概念和思想。雖然計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度超出任何人的想象，但畢竟還需要由數(shù)學(xué)家去編制程序，指導(dǎo)計(jì)算機(jī)正確運(yùn)算。實(shí)際上，確切地說，當(dāng)我們把 π 的計(jì)算歷史劃分出一個(gè)電子計(jì)算機(jī)時(shí)期時(shí)，這并非意味著計(jì)算方法上的改進(jìn)，而只是計(jì)算工具有了一個(gè)大飛躍而已。因而如何改進(jìn)計(jì)算技術(shù)，研究出更好的計(jì)算公式，使公式收斂得更快、能極快地達(dá)到較大的精確度仍是數(shù)學(xué)家們面對(duì)的一個(gè)重要課題。在這方面，本世紀(jì)印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努揚(yáng)得出了一些很好的結(jié)果。他發(fā)現(xiàn)了許多能夠迅速而精確地計(jì)算 π 近似值的公式。他的見解開通了更有效地計(jì)算 π 近似值的思路。現(xiàn)在計(jì)算機(jī)計(jì)算 π 值的公式就是由他得到的。至于這位極富傳奇色彩的數(shù)學(xué)家的故事，在這本小書中我們不想多做介紹了。不過，我希望大家能夠明白 π 的故事講述的是人類的勝利，而不是機(jī)器的勝利。
　　3、還有一個(gè)關(guān)于 π 的計(jì)算的問題是：我們能否無限地繼續(xù)算下去？答案是：不行！根據(jù)朱達(dá)偌夫斯基的估計(jì)，我們最多算10⁷⁷位。雖然，現(xiàn)在我們離這一極限還相差很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)，但這畢竟是一個(gè)界限。為了不受這一界限的約束，就需要從計(jì)算理論上有新的突破。前面我們所提到的計(jì)算，不管用什么公式都必須從頭算起，一旦前面的某一位出錯(cuò)，后面的數(shù)值完全沒有意義。還記得令人遺憾的謝克斯嗎？他就是歷史上最慘痛的教訓(xùn)。
　　4、于是，有人想能否計(jì)算時(shí)不從頭開始，而是從半截開始呢？這一根本性的想法就是尋找并行算法公式。1996年，圓周率的并行算法公式終于找到，但這是一個(gè)16進(jìn)位的公式，這樣很容易得出的1000億位的數(shù)值，只不過是16進(jìn)位的。是否有10進(jìn)位的并行計(jì)算公式，仍是未來數(shù)學(xué)的一大難題。
　　5、作為一個(gè)無窮數(shù)列，數(shù)學(xué)家感興趣的把 π 展開到上億位，能夠提供充足的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證人們所提出的某些理論問題，可以發(fā)現(xiàn)許多迷人的性質(zhì) 。如，在 π 的十進(jìn)展開中，10個(gè)數(shù)字，哪些比較稀，哪些比較密？ π 的數(shù)字展開中某些數(shù)字出現(xiàn)的頻率會(huì)比另一些高嗎？或許它們并非完全隨意？這樣的想法并非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會(huì)問這種貌似簡(jiǎn)單，許多人司空見慣但卻不屑發(fā)問的問題。
　　6、數(shù)學(xué)家弗格森最早有過這種猜想：在 π 的數(shù)值式中各數(shù)碼出現(xiàn)的概率相同。正是他的這個(gè)猜想為發(fā)現(xiàn)和糾正向克斯計(jì)算 π 值的錯(cuò)誤立下了汗馬功勞。然而，猜想并不等于現(xiàn)實(shí)。弗格森想驗(yàn)證它，卻無能為力。后人也想驗(yàn)證它，也是苦于已知的 π 值的位數(shù)太少。甚至當(dāng)位數(shù)太少時(shí)，人們有理由對(duì)猜想的正確性做出懷疑。如，數(shù)字0的出現(xiàn)機(jī)會(huì)在開始時(shí)就非常少。前50位中只有1個(gè)0，第一次出現(xiàn)在32位上?？墒?，這種現(xiàn)象隨著數(shù)據(jù)的增多，很快就改變了：100位以內(nèi)有8個(gè)0；200位以內(nèi)有19個(gè)0；……1000萬位以內(nèi)有999，440個(gè)0；……60億位以內(nèi)有599，963，005個(gè)0，幾乎占1／10。
　　其他數(shù)字又如何呢？結(jié)果顯示，每一個(gè)都差不多是1／10，有的多一點(diǎn)，有的少一點(diǎn)。雖然有些偏差，但都在1／10000之內(nèi)。
　　7、人們還想知道： π 的數(shù)字展開真的沒有一定的模式嗎？我們希望能夠在十進(jìn)制展開式中通過研究數(shù)字的統(tǒng)計(jì)分布，尋找任何可能的模型――如果存在這種模型的話，迄今為止尚未發(fā)現(xiàn)有這種模型。同時(shí)我們還想了解： π 的展開式中含有無窮的樣式變化嗎？或者說，是否任何形式的數(shù)字排列都會(huì)出現(xiàn)呢？著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在沒有發(fā)表的筆記本中曾提出下面的問題： π 的十進(jìn)展開中是否有10個(gè)9連在一起？以現(xiàn)在算到的60億位數(shù)字來看，已經(jīng)出現(xiàn)：連續(xù)6個(gè)9連在一起。希爾伯特的問題答案似乎應(yīng)該是肯定的，看來任何數(shù)字的排列都應(yīng)該出現(xiàn)，只是什么時(shí)候出現(xiàn)而已。但這還需要更多 π 的數(shù)位的計(jì)算才能提供切實(shí)的證據(jù)。
　　8、在這方面，還有如下的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：在60億數(shù)字中已出現(xiàn)連在一起的8個(gè)8；9個(gè)7；10個(gè)6；小數(shù)點(diǎn)后第710150位與3204765位開始，均連續(xù)出現(xiàn)了七個(gè)3；小數(shù)點(diǎn)52638位起連續(xù)出現(xiàn)了14142135這八個(gè)數(shù)字，這恰是的前八位；小數(shù)點(diǎn)后第2747956位起，出現(xiàn)了有趣的數(shù)列876543210，遺憾的是前面缺個(gè)9；還有更有趣的數(shù)列123456789也出現(xiàn)了。
　　如果繼續(xù)算下去，看來各種類型的數(shù)字列組合可能都會(huì)出現(xiàn)。