線段與角
線段與角
| 線段與角是初中平面幾何中兩個(gè)非常基本的概念，這兩個(gè)概念在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用． 小明做作業(yè)需要買一些文具．在他家的左邊200米處有一家文具店，他從家出發(fā)向文具店走去，走到一半發(fā)現(xiàn)忘了帶錢，又回家取錢買了文具后回到家中．問小明共走了多長(zhǎng)的路程？ 在高層建筑中，一般都設(shè)有電梯，人們上樓一般都乘坐電梯，你想過(guò)嗎，設(shè)計(jì)電梯與線段的什么性質(zhì)有關(guān)？ 鐘表是大家熟悉的計(jì)時(shí)工具，你可曾觀察過(guò)在2點(diǎn)到3點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？什么時(shí)候時(shí)針與分針成90°角？ 我們還可以在日常生活中提出許多與線段和角有關(guān)的問題，不少問題很有趣，也頗費(fèi)腦筋，對(duì)于留心觀察、勤于思考的人來(lái)說(shuō)是鍛煉腦筋的好機(jī)會(huì)． 例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分別是AB和CD的中點(diǎn)，且EF=12厘米(cm)，求AD的長(zhǎng)(如圖1－6)． 分析 線段EF是線段AD的一部分，題設(shè)給出了EF的長(zhǎng)度，只要知道線段EF占全線段AD的份額，就可求出AD的長(zhǎng)了． 解 因?yàn)?/font>AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中點(diǎn)，F是CD中點(diǎn)，將線段AD 9等分(9=2+3+4)且設(shè)每一份為一個(gè)單位，則AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．從而 例2 在直線l上取 A，B兩點(diǎn)，使AB=10厘米，再在l上取一點(diǎn)C，使AC=2厘米，M，N分別是AB，AC中點(diǎn)．求MN的長(zhǎng)度(如圖1－7)． 分析 因?yàn)槭窃谥本€上取C點(diǎn)，因此有兩種情形：C點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)或C點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)． 解 若C點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)(即在線段AB上)．因?yàn)?/font>AC=2厘米， N為 AC中點(diǎn)，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M為AB中點(diǎn)，所以AM=5厘米．則 MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如圖1－7(a))． 若C點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)(即在線段BA延長(zhǎng)線上)，此時(shí) MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如圖 1－7(b))． 線段的最基本性質(zhì)是“兩點(diǎn)之間線段最短”，這在生活中有廣泛應(yīng)用．前面所提到的高層建筑所設(shè)電梯的路線，就是連接兩層樓之間的線段，而樓梯的路線則是折線，電梯的路線最短． 例3 如圖1－8所示．在一條河流的北側(cè)，有A，B兩處牧場(chǎng)．每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后， 折到B處放牧吃草．請(qǐng)問， 飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路程最短？ 分析 將河流看作直線l(如圖1－9所示)．設(shè)羊群在河邊的飲水點(diǎn)為C＇，則羊群行走路程為AC＇+C＇B．設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A＇，由對(duì)稱性知C＇A＇=C＇A． 因此，羊群行走的路程為 線段A＇C＇與 C＇B是連結(jié)點(diǎn)A＇與點(diǎn)B之間的折線．由線段的基本性質(zhì)知，連結(jié)點(diǎn)A＇與點(diǎn)B之間的線中，線段A＇B最短．設(shè)線段A＇B與直線l交于C．那么，C點(diǎn)就是所選的最好的飲水地點(diǎn)，下面我們來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)． 解 作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A＇．連結(jié)B，A＇，并設(shè)線段BA＇與l交于C．設(shè)C＇是l上不同于C的另外一點(diǎn)，只要證明 AC＇+C＇B＞AC+CB ① 即可． 利用線段基本性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性知 所以 而C＇A＇與C＇B是連結(jié)A＇，B的折線，而A＇B則是連結(jié)這兩點(diǎn)之間的線段，所以 從而①成立，即選擇C點(diǎn)作為羊群的飲水點(diǎn)，羊群的行程最短． 例4 將長(zhǎng)為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個(gè)五邊形．問其中最長(zhǎng)的一段的取值范圍． 分析 設(shè)AB是所圍成的五邊形ABCDE的某一邊(圖 1－10)，而線段BC，CD，DE，EA則可看成是點(diǎn)A，B之間的一條折線，因此， 如果AB是最長(zhǎng)的一段，上面的不等式關(guān)系仍然成立，從而可以求出它的取值范圍． 解 設(shè)最長(zhǎng)的一段AB的長(zhǎng)度為x厘米，則其余4段的和為(10-x)厘米．由線段基本性質(zhì)知x＜10-x，所以x＜5，即最長(zhǎng)的一段AB的長(zhǎng)度必須小于5厘米． 例5 若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是2∶7，求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角． 分析 這個(gè)問題涉及到一個(gè)角的余角、補(bǔ)角及兩個(gè)角的比的概念，概念清楚了，問題不難解決． 解 設(shè)這個(gè)角為α，則這個(gè)角的余角為90°-α，這個(gè)角的補(bǔ)角為180°-α．依照題意，這兩個(gè)角的比為 所以 所以α=54°．從而，這個(gè)角的鄰補(bǔ)角為 例6 若時(shí)鐘由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)50分，問時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度？ 分析 解這個(gè)問題的難處在于時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度，這就要弄清楚時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的關(guān)系．每一小時(shí)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)360°，而時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 解 在2點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)鐘的分針指向數(shù)字6；在2點(diǎn)50分時(shí)，時(shí)鐘的分針指向數(shù)字10，因此，分針共轉(zhuǎn)過(guò)“四格”，每轉(zhuǎn)“一格”為30°，故分針共轉(zhuǎn)過(guò)了 在鐘表中，有很多有關(guān)分針、時(shí)針的轉(zhuǎn)角問題．解決這類問題的關(guān) 倍)． 例7時(shí)鐘里，時(shí)針從5點(diǎn)整的位置起，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)多少度時(shí)，分鐘與時(shí)針第一次重合(圖1－11)？ 分析 在開始時(shí)，從順時(shí)針方向看，時(shí)針在分針的“前方”，它們相差 5×30°=150°．由于分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度(是它的12倍)，因此，總有一刻，分針“追上”時(shí)針(即兩者重合)．具體追上的時(shí)刻決定于開始時(shí)，分針與時(shí)針的角度差及它們的速度比． 解 如分析，在開始時(shí)，分針“落后”于時(shí)針150°．設(shè)分針與時(shí)針第一次重合時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了α角，那么，分針轉(zhuǎn)動(dòng)了(150°+α)．因?yàn)榉昼娹D(zhuǎn)速是時(shí)針的12倍，所以 說(shuō)明 鐘表里的分鐘與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)問題本質(zhì)上與行程問題中的兩人追擊問題非常相似．行程問題中的距離相當(dāng)于這里的角度；行程問題中的速度相當(dāng)于這里時(shí)(分)針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度． 下面再看一例． 例8 在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在何時(shí) (1)成120°(圖1－12)； (2)成90°(圖1－12)． 分析與解 (1)在4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針恰成120°．由于所問的時(shí)間是介于4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，因此，這個(gè)時(shí)間不能計(jì)入．從4點(diǎn)開始，分針與時(shí)針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合(夾角為0°)．之后，分針“超過(guò)”時(shí)針，兩針之間的夾角又逐漸增大(此時(shí)，分針在時(shí)針的前面)． 直到兩針夾角又一次成為120°，這個(gè)時(shí)間正是我們所要求的． 設(shè)時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)a角后，時(shí)針與分針(分針在時(shí)鐘前)成120°，則 由于時(shí)針每轉(zhuǎn)過(guò)30°(如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5)相當(dāng)于1 經(jīng)過(guò)了
(2)如圖1－13(a)，(b)所示． 由于在整4點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針夾角為120°，因此，在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成90°有兩種情況?。?/font> (i)時(shí)針在分針之前(如圖1－13(a))．設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)了a角，分針轉(zhuǎn)了12a角，有 所以 11α=30°，
用時(shí)
(ii)時(shí)針在分針之后(如圖1－13(b))，此時(shí)，有關(guān)系 用時(shí) 說(shuō)明 由于時(shí)針與分針?biāo)山且罆r(shí)針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會(huì)出現(xiàn)一解或兩解． 1．如圖1－14所示．B，C是線段AD上兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)．若MN=a，BC=b，求AD． 2．如圖1－15所示．A2，A3是線段A1A4上兩點(diǎn)，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求線段A1A4上所有線段之和． 3．如圖1－16所示．兩個(gè)相鄰墻面上有A，B兩點(diǎn)，現(xiàn)要從A點(diǎn)沿墻面拉一線到B點(diǎn)．問應(yīng)怎樣拉線用線最??？ 4．互補(bǔ)的兩角之差是28°，求其中一個(gè)角的余角． 5．如圖1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4． 6．在晚6點(diǎn)到7點(diǎn)之間，時(shí)針與分針何時(shí)成90°角？ 7．在4點(diǎn)到6點(diǎn)之間，時(shí)針與分針何時(shí)成120°角？ |