不等式的應用

顯然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．

　　例3 若正數(shù)a，b，c滿足不等式組

　　試確定a，b，c的大小關系．

　　解①+c得

　　②+a得

　　③+b得

　　同理，由④，⑥得b＜C．

　　所以a，b，c的大小關系為b＜c＜a．

　　例4 當k取何值時，關于x的方程

　　分別有(1)正數(shù)解；(2)負數(shù)解；(3)不大于1的解．

　　解 將原方程變形為(3+k)x=2．

　　(1)當 3+k＞0，即 k＞-3時，方程有正數(shù)解．

　　(2)當3+k＜0，即k＜-3時，方程有負數(shù)解．

　　(3)當方程解不大于1時，有

　　所以1+k，3+k應同號，即

　　得解為　　　　　　k≥-1或k＜-3．

　　注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。

　　例5已知

　　求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．

　　 ｜x-1｜-｜x+3｜

達到最大值4．結合x＜-3時的情形，得到：在已

　　說明 對含有絕對值符號的問題，無法統(tǒng)一處理．一般情況下，是將實數(shù)軸分成幾個區(qū)間，分別進行討論，即可脫去絕對值符號．

　　例6 已知x，y，z為非負實數(shù)，且滿足

　　求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

　　解 將已知的兩個等式聯(lián)立成方程組

　　所以①+②得

　　將y=40-2x代入①可解得

　　因為y，z均為非負實數(shù)，所以

　　解得 10≤x≤20．

　　當x值增大時，u的值減??；當x值減小時，u的值增大．故當x=10時，u有最大值130；當x=20時，u有最小值120．

　　例7 設a，b，c，d均為整數(shù)，且關于x的四個方程

的根都是正數(shù)，試求a可能取得的最小值是多少？

　　解 由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因為a，b均為整數(shù)，所以a-2b也為整數(shù)，所以

　　同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以

故a可能取得的最小值為2433．

　　求pq的值．

　　解 由已知

　　所以 21q＜30p＜22q．

　　因為p，q都為自然數(shù)，所以當q分別等于1，2，3，4，5，6時，無適當?shù)?/font>p值使21q＜30p＜22q成立．當q＝7時，147＜30p＜154，取p=5可使該不等式成立．所以q最小為7，此時p=5．于是 pq=5×7=35．