含絕對(duì)值的方程及不等式
含絕對(duì)值的方程及不等式
| 從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離．但除零以外，任一個(gè)絕對(duì)值都是表示兩個(gè)不同數(shù)的絕對(duì)值．即一個(gè)數(shù)與它相反數(shù)的絕對(duì)值是一樣的．由于這個(gè)性質(zhì)，所以含有絕對(duì)值的方程與不等式的求解過(guò)程又出現(xiàn)了一些新特點(diǎn)．本講主要介紹方程與不等式中含有絕對(duì)值的處理方法． 一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值記作｜a｜，指的是由a所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)： 含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)：
(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜； (3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜． 由于絕對(duì)值的定義，所以含有絕對(duì)值的代數(shù)式無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算．通常的手法是分別按照絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，脫去絕時(shí)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，即含有絕對(duì)值的方程與不等式的求解，常用分類討論法．在進(jìn)行分類討論時(shí)，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏．下面結(jié)合例題予以分析． 例1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7． 分析 解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，這可用“零 掉絕對(duì)值符號(hào)再求解． 解(1)當(dāng)x≥2時(shí)，原方程化為
應(yīng)舍去．
說(shuō)明 若在x的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí)，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去． 例2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的個(gè)數(shù)．
為只含有一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的方程．然后再去掉外層的絕對(duì)值符號(hào)求解． 即 ｜1+x｜=3，
即 ｜3x+1｜=3， 的個(gè)數(shù)為2． 例3 若關(guān)于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三個(gè)整數(shù)解．則a的值是多少？ 解 若a＜0，原方程無(wú)解，所以a≥0．由絕對(duì)值的定義可知 所以 ｜x-2｜=1±a． (1)若a＞1，則｜x-2｜=1-a＜0，無(wú)解．｜x-2｜=1＋a，x只能有兩個(gè)解x=3+a和x=1-a． (2)若0≤a≤1，則由｜x-2｜=1+a，求得 由｜x-2｜=1-a，求得 原方程的解為x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使方程有三個(gè)整數(shù)解，a必為整數(shù)，所以a只能取0或1．當(dāng)a=0時(shí)，原方程的解為x=3，1，只有兩個(gè)解，與題設(shè)不符，所以a≠0．當(dāng)a=1時(shí)，原方程的解為x=4，0，2，有三個(gè)解． 綜上可知，a=1． 例4 已知方程｜x｜=ax+1有一負(fù)根，且無(wú)正根，求a的取值范圍． 解 設(shè)x為方程的負(fù)根，則-x=ax+1，即 所以應(yīng)有a＞-1．反之，a＞-1時(shí)，原方程有負(fù)根． 設(shè)方程有正根x，則x=ax＋1，即 所以a＜1．反之，a＜1時(shí)，原方程有正根． 綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無(wú)正根，必須a≥1． 例5 設(shè) 求x+y． 分析 從絕對(duì)值的意義知 兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為零時(shí)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)必須都為零． 解 由題設(shè)有 把③代入①得 例6 解方程組 分析與解 由①得x-y=1或x-y=-1，即 與②結(jié)合有下面兩個(gè)方程組
解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得 組(Ⅰ)的解為 同理，解(Ⅱ)有 故原方程組的解為 例7 解方程組 解 由①得 因?yàn)椋?/font>x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③ 把③代入②有 所以y=2．將之代入①有｜x-2｜=x，所以 或 x-2=-x． ⑤ ④無(wú)解，所以只有解⑤得x=1．故 說(shuō)明 本題若按通常的解法，區(qū)分x+y≥0和x+y＜0兩種情形，把方程②分成兩個(gè)不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，對(duì)方程①也做類似處理的話，將很麻煩．上面的解法充分利用了絕對(duì)值的定義和性質(zhì)，從方程①中發(fā)現(xiàn)必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化了解題過(guò)程． 例8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
＜x≤5，x＞5．
(3)當(dāng)x＞5時(shí)，原不等式化為 解之得x＞-9，結(jié)合x＞5，故x＞5是原不等式的解． 的解． 例9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2． 分析與解 此不等式實(shí)際上是 解 對(duì)｜3x-5｜≥1：
對(duì)｜3x-5｜≤2：
所以①與②的公共解應(yīng)為
例 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3． 解 從里往外去絕對(duì)值符號(hào)，將數(shù)軸分為x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段來(lái)討論，于是原不等式化為如下三個(gè)不等式組．
即 x≤-3．
即 x＞3．
說(shuō)明 本題也可以由外向內(nèi)去絕對(duì)值符號(hào)，由絕對(duì)值的意義，解下面兩個(gè)不等式 分別解出①和②即可，請(qǐng)同學(xué)們自己完成這個(gè)解法． 例11 當(dāng)a取哪些值時(shí)，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？ 解法1 (1)當(dāng)x≤-2時(shí)， (2)當(dāng)-2＜x＜1時(shí)， (3)當(dāng)x≥1時(shí)， 所以，只有當(dāng)a≥3時(shí)，原方程有解． 解法2 按照絕對(duì)值的性質(zhì)｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故 其中等號(hào)當(dāng)-2≤x≤1時(shí)成立，所以當(dāng)a≥3時(shí)，原方程有解． 1．解下列方程： (1)｜x+3｜-｜x-1｜=x+1； (2)｜｜1+x｜-1｜=3x； (3)｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2； (4)｜3y-2｜=-｜5x-3｜． 2．解方程組：
3．解下列不等式：
(2)5≤｜5x-3｜≤10； (3)｜x+1｜+｜4-x｜＜6； (4)｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1． 4．若a＞0，b＜0，則方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？ |