百年數(shù)學(xué)難題中國(guó)人來(lái)完成答案

百年數(shù)學(xué)難題中國(guó)人來(lái)完成答案

　　6月2日，專程從美國(guó)來(lái)到北京的丘成桐教授拿著最新一期《亞洲數(shù)學(xué)期刊》說(shuō)：“這是一篇實(shí)實(shí)在在的重要論文。最重要的是，文章從頭開(kāi)始，完完整整地將整個(gè)證明過(guò)程一步一步地寫得清清楚楚。從來(lái)沒(méi)有人有能力做過(guò)這件事，即使Thurston也沒(méi)有把自己的工作寫清楚。這篇論文從頭到尾，每句話我都看了。論文經(jīng)過(guò)審稿，實(shí)實(shí)在在，可以當(dāng)大學(xué)里的教材?！?

　　被丘成桐大加贊揚(yáng)的這篇論文，就是兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家――朱熹平和曹懷東最終證明龐加萊猜想的論文。在丘成桐看來(lái)，這篇長(zhǎng)達(dá)328頁(yè)的論文注定要在數(shù)學(xué)史上留下自己的位置。

　　丘成桐說(shuō)：“龐加萊猜想的解決是多位科學(xué)家共同努力的結(jié)果，最后寫出整套證明方案的是兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家。從我的朋友Thurston 開(kāi)始，到Hamilton，再到 Perelman先生，他們的貢獻(xiàn)都非常大。最后一步是兩位中國(guó)數(shù)學(xué)家完成的，就像蓋了幢大樓，從基礎(chǔ)開(kāi)始，還沒(méi)有封頂，他們的工作就是封頂。”

　　在接受《科學(xué)時(shí)報(bào)》獨(dú)家專訪時(shí)，丘成桐向記者講述了龐加萊猜想被證明的來(lái)龍去脈。

　　三維龐加萊猜想的證明非常困難

　　1905年，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐家萊提出著名的“龐加萊猜想”：在一個(gè)三維空間中，假如一條封閉的曲線能收縮成一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是三維的圓球。后來(lái)，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　丘成桐說(shuō)，龐加萊猜想和三維空間幾何化的問(wèn)題是幾何領(lǐng)域的主流，它的證明將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)界流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，甚至用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述宇宙空間產(chǎn)生重要影響。龐加萊猜想和黎曼猜想共同被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最著名的兩個(gè)猜想。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都?jí)粝虢鉀Q這兩個(gè)問(wèn)題。

　　高維龐加萊猜想的證明比低維龐加萊猜想要容易一些。20世紀(jì)60年代初，兩位美國(guó)數(shù)學(xué)家Smale 和Stallings發(fā)表論文，證明了五維及五維以上的龐加萊猜想，Smale因此獲得1966年的菲爾茨獎(jiǎng)，但這種方法無(wú)法用于證明三維與四維空間龐加萊猜想；1983年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Freedman發(fā)表論文，證明了四維龐加萊猜想，因此獲得1986年的菲爾茨獎(jiǎng)，但這種方法無(wú)法再向前推進(jìn)。

　　丘成桐說(shuō)，解決龐加萊猜想有幾種不同的途徑，剛開(kāi)始是拓?fù)鋵W(xué)的方法，即所謂切割方法，但這個(gè)方法到20世紀(jì)70年代就很難再進(jìn)一步了。1978年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Thurston引進(jìn)幾何結(jié)構(gòu)的方法來(lái)做切割，這個(gè)方法很重要，他因此獲得1983年的菲爾茨獎(jiǎng)，但這個(gè)方法也無(wú)法再向前推進(jìn)。

　　關(guān)鍵一環(huán)：微分幾何分析方法

　　1972年，丘成桐和李偉光發(fā)展出用非線性微分方程的方法來(lái)研究幾何結(jié)構(gòu)，丘成桐用這個(gè)方法證明了卡拉比猜想和復(fù)幾何上的龐加萊猜想。由此，丘成桐知道幾何分析方法有助于龐加萊猜想的解決。

　　1982年，丘成桐的朋友、康奈爾大學(xué)的Hamilton發(fā)表一篇文章，提出一種新方程來(lái)構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)。但Hamilton是用微分方程的方法來(lái)做的，不同于Thurston的幾何結(jié)構(gòu)方法。丘成桐看出其中的重要性，建議Hamilton用他和李偉光的幾何分析方法來(lái)做龐加萊猜想和三維空間幾何化的問(wèn)題，同時(shí)，讓自己的4位博士生開(kāi)始這個(gè)研究，而曹懷東就是其中一位，他的博士論文就是這方面的工作。丘成桐的另兩位中國(guó)學(xué)生也對(duì)這項(xiàng)工作有著奠基性貢獻(xiàn)，其中一位是來(lái)自中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)所的施皖雄。

　　1982年時(shí)，丘成桐是普林斯頓高等研究中心的教授，曹懷東是附近普林斯頓大學(xué)的研究生，他慕名成為丘成桐的博士生，也成為丘成桐第一位來(lái)自中國(guó)大陸的學(xué)生。1984年，丘成桐到加州大學(xué)圣地亞哥分校做教授，曹懷東跟他到了圣地亞哥。丘成桐同時(shí)邀請(qǐng)Hamilton和加州大學(xué)伯克利分校的Schoen教授到圣地亞哥分校。丘成桐說(shuō)：“在圣地亞哥，Hamilton的辦公室就在我的隔壁，我們之間有很多討論?！?

　　可是，Hamilton研究過(guò)程中遇到一個(gè)重要問(wèn)題：在用曲率方法推動(dòng)空間變化時(shí)遇到了奇怪的點(diǎn)，如何處理奇異點(diǎn)就成為整個(gè)龐加萊猜想證明中最重要的一部分。

　　處理奇異點(diǎn)的發(fā)生是幾何分析上的問(wèn)題，剛好丘成桐和李偉光發(fā)現(xiàn)了一種處理非線性微分方程的方法。于是，丘成桐建議Hamilton一試。后來(lái)，Hamilton花了很多功夫?qū)⑦@種方法用在他的方程上，得到了重要結(jié)果。1993年，Hamilton發(fā)表一篇重要論文，開(kāi)始對(duì)奇異點(diǎn)問(wèn)題有了深刻了解，但如何切掉奇異點(diǎn)又是一個(gè)新的困難。

　　丘成桐說(shuō)：“因?yàn)槠娈慄c(diǎn)的產(chǎn)生有很多種，多姿多彩，必須掌握控制它們的方法，這需要很多仔細(xì)的分析和幾何結(jié)構(gòu)上的研究。朱熹平和曹懷東在Hamilton和Perelman關(guān)鍵性工作的基礎(chǔ)上最后解決了這個(gè)問(wèn)題，所以，他們?yōu)檫@個(gè)猜想的解決封了頂。”

　　1995年，丘成桐看到了解決龐加萊問(wèn)題的大趨勢(shì)，他邀請(qǐng)Hamilton到中國(guó)講學(xué)，并向我國(guó)數(shù)學(xué)界發(fā)出“全國(guó)向Hamilton學(xué)習(xí)，一定會(huì)有成就”的口號(hào)，但最后，只有朱熹平響應(yīng)了這個(gè)口號(hào)。

　　一個(gè)證明 半年講解

　　1994年，朱熹平首次在香港中文大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的討論班上遇見(jiàn)丘成桐。1997年，丘成桐建議朱熹平集中精力到龐加萊猜想的證明上。之后，丘成桐每年邀請(qǐng)朱熹平到香港中文大學(xué)工作半年，其間他們有許多討論。

　　2002年11月，俄羅斯數(shù)學(xué)家Grigory Perelman在網(wǎng)上公布了一個(gè)研究報(bào)告，聲稱證明了由Thurston25年前提出的有關(guān)三維流形的“幾何化猜想”，而龐加萊猜想正是后者的一個(gè)特例。4個(gè)月后，Perelman在網(wǎng)上發(fā)布第二份報(bào)告，介紹了更多的證明細(xì)節(jié)。當(dāng)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家以為Perelman證明了龐加萊猜想，2003年4月5日的《紐約時(shí)報(bào)》就曾以《俄國(guó)人報(bào)告著名數(shù)學(xué)問(wèn)題解決了》為題首次向公眾披露了這個(gè)消息；同日，數(shù)學(xué)網(wǎng)站MathWorld的頭條新聞是：龐加萊猜想被證明了，這一回是真的。但隨后，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了Perelman的證明不完整，有漏洞。

　　就在Perelman公布其研究時(shí)，朱熹平對(duì)龐加萊猜想的研究也有了部分結(jié)果。不久后，Perelman的證明開(kāi)始接受專家評(píng)審。

　　競(jìng)爭(zhēng)非常激烈。丘成桐調(diào)兵遣將，讓曹懷東在2003年夏天開(kāi)始和朱熹平合作。2005年，兩人解決了最后的問(wèn)題。

　　2005年初夏，丘成桐建議哈佛大學(xué)邀請(qǐng)朱熹平到哈佛數(shù)學(xué)系訪問(wèn)半年，獲得數(shù)學(xué)系全體教授一致同意。當(dāng)年9月，朱熹平來(lái)到哈佛大學(xué)，他的主要任務(wù)就是向?qū)＜抑v解他們的證明論文。

　　從2005年9月到2006年3月，朱熹平每周在哈佛大學(xué)講3個(gè)小時(shí)，共講70多個(gè)小時(shí)。丘成桐說(shuō)：“聽(tīng)他講解的教授有5～6位，包括我和哈佛數(shù)學(xué)系主任在內(nèi)。我從頭到尾地聽(tīng)，他一句句地講解，因此，我對(duì)整個(gè)過(guò)程相當(dāng)了解。這么大的問(wèn)題，用2到3個(gè)小時(shí)是講不明白的。朱熹平小心地花了幾十個(gè)小時(shí)來(lái)講，這不是件容易的事。”

　　我為中國(guó)驕傲

　　談到數(shù)學(xué)家們對(duì)龐加萊猜想證明的貢獻(xiàn)，丘成桐說(shuō)：“龐加萊猜想最后證明所用的方法與拓?fù)鋵W(xué)的關(guān)系并不大，而是完全用了我和很多朋友在30多年前發(fā)展的幾何分析方法。Hamilton是整個(gè)龐加萊猜想證明過(guò)程中的主帥、領(lǐng)導(dǎo)人，他是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，是我所能看到的少數(shù)具有原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家之一。Perelman先生增加了很重要的部分，朱熹平和曹懷東解決了最后的問(wèn)題，他們?yōu)檫@個(gè)問(wèn)題封了頂?！?

　　丘成桐為中國(guó)數(shù)學(xué)家的這一杰出成就深感高興，他選擇論文正式發(fā)表后的第三天在北京中國(guó)科學(xué)院晨興數(shù)學(xué)研究中心公布這個(gè)消息。他說(shuō)：“這是我創(chuàng)立的研究所，朱熹平和曹懷東在這里有過(guò)許多討論，這不是一項(xiàng)普通的成就，是大成就。中國(guó)人做出這么好的工作，我為中國(guó)驕傲！他們用了我和朋友30多年前發(fā)展出來(lái)的方法，我也為此驕傲。我發(fā)展了很多工具，總是希望看到它們的應(yīng)用和成長(zhǎng)?！?

　　這是一個(gè)長(zhǎng)江后浪推前浪的故事。丘成桐說(shuō)：“好的學(xué)問(wèn)都是年輕時(shí)做出的。在整個(gè)幾何分析法上，我花了很多功夫。在這方面我是一個(gè)領(lǐng)袖人物。我一直很想做龐加萊猜想，做了很久，也用了很多方法，但最后沒(méi)辦法做出來(lái)。這很艱難。我的學(xué)生能做出這樣好的工作，我當(dāng)然很高興。這是可以在歷史上留名的工作，希望能借此將整個(gè)中國(guó)數(shù)學(xué)界的風(fēng)氣改正過(guò)來(lái)。做數(shù)學(xué)就要真正對(duì)數(shù)學(xué)本身有貢獻(xiàn)，而不是為后面的榮譽(yù)和名利?！?