偉大的數(shù)學(xué)：“世界末日”的傳說引出的數(shù)學(xué)問題

偉大的數(shù)學(xué)：“世界末日”的傳說引出的數(shù)學(xué)問題

　　有這樣一段關(guān)于“世界末日”的傳說。
　　在印度北部的一個(gè)佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據(jù)說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時(shí)，在其中的一根針上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小時(shí)內(nèi)，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準(zhǔn)移動(dòng)一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當(dāng)所有六十四片金片都從梵天創(chuàng)造世界時(shí)所放的那根針上移到另一根針上時(shí)，世界的末日就要到臨。
　　這雖是一個(gè)傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動(dòng)完畢這六十四片金片需要多少時(shí)間。也就是說，人類在這個(gè)世界上還可以生存多少時(shí)間。讓我們來算算看。
　　設(shè)原來放置金片的寶石針為甲，其它兩根針為乙、丙。
　　1．設(shè)金片只有一片。顯然，只要移動(dòng)1次即可。
　　2．設(shè)金片只有二片?？上葘⑤^小金片移至乙針上，較大金片移至丙針上，再將較小金片從乙針移至丙針上，共移動(dòng)3次。
　　3．設(shè)金片有三片?？上葘⑸厦鎯善鹌频揭疑?。按2可知，共需移動(dòng)3次。再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上兩片移至丙同2，還需三次。以上共需
　　2·3+1=7（次）。
　　4．設(shè)金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片從甲移到丙上，又移一次。最后，把較小的三片從乙移至丙，又需移7次。以上共需移動(dòng)
　　2·7+1=15（次）。
　　依此遞推下去。設(shè)有k片金片，先將k-1片移至乙，需移動(dòng)Sk-1次。然后再把第k片移至丙，又移一次。最后把k-1片從丙移至乙，又需Sk-1次。以上共需移動(dòng)
　　（2·Sk-1+1）次。
　　這樣，我們可以得到如下的遞推式：
　　Sk=2·Sk-1+1。
　　根據(jù)這個(gè)遞推公式，分別令k=1，2，3，……，64，得
　　S1=1＝21-1；
　　S2=2S1+1=2（21-1）+1=22-1；
　　S3＝2S2+1=2（22-1）+1=23-1；
　　S4=2S3+1=2（23-1）+1=24-1；
　　………………
　　S64=264-1=18446744073709551615。
　　如果僧侶移動(dòng)金片一次需要1秒鐘，移動(dòng)這么多次共需約5845億年。把這個(gè)寓言和現(xiàn)代科學(xué)推測對比一下倒是有意思的。按照現(xiàn)代的宇宙進(jìn)化論，恒星、太陽、行星（包括地球）是在三十億年前由不定形物質(zhì)形成的。我們還知道，給恒星特別是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100～150億年。因此，我們太陽系的整個(gè)壽命無疑要短于二百億年?？梢娺h(yuǎn)不等僧侶們完成任務(wù)，地球早已毀滅了。