第三講求代數(shù)式的值
第三講求代數(shù)式的值
用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計(jì)算，求出代數(shù)式的值，是一個(gè)由一般到特殊的過(guò)程．具體求解代數(shù)式值的問(wèn)題時(shí)，對(duì)于較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，代入直接計(jì)算并不困難，但對(duì)于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值．下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧．
例1 求下列代數(shù)式的值：
分析 上面兩題均可直接代入求值，但會(huì)很麻煩，容易出錯(cuò)．我們可以利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的有關(guān)概念、法則，如合并同類項(xiàng)，添、去括號(hào)等，先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再求值，這樣會(huì)大大提高運(yùn)算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性．
=0-4a3b2-a2b-5
=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
=-16+2-5=-19．
(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]
=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)
=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)
=2xyz-2x2z
=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
=12+6=18．
說(shuō)明 本例中(1)的化簡(jiǎn)是添括號(hào)，將同類項(xiàng)合并后，再代入求值；(2)是先去括號(hào)，然后再添括號(hào)，合并化簡(jiǎn)后，再代入求值．去、添括號(hào)時(shí)，一定要注意各項(xiàng)符號(hào)的變化．
例2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．
分析 由已知條件a-b=-1，我們無(wú)法求出a，b的確定值，因此本題不能像例1那樣，代入a，b的值求代數(shù)式的值．下面給出本題的五種解法．
解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)
a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3
=-1．
說(shuō)明 這是用代入消元法消去a化簡(jiǎn)求值的．
解法2 因?yàn)?/font>a-b=-1，所以
原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab
=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab
=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2
=-(-1)2=-1．
說(shuō)明 這種解法是利用了乘法公式，將原式化簡(jiǎn)求值的．解法3 因?yàn)?/font>a-b=-1，所以
原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3
=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
=(-1)3=-1．
說(shuō)明 這種解法巧妙地利用了-1=a-b，并將3ab化為-3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了(a-b)3．
解法4 因?yàn)?/font>a-b=-1，所以
即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，
所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，
即 a3-b3+3ab=-1．
說(shuō)明 這種解法是由a-b=-1，演繹推理出所求代數(shù)式的值．
解法 5
a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab
=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab
=(-1)3+3ab(-1)+3ab
=-1．
說(shuō)明 這種解法是添項(xiàng)，湊出(a-b)3，然后化簡(jiǎn)求值．通過(guò)這個(gè)例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考，才能找到簡(jiǎn)便的算法．在本例的各種解法中，用到了幾個(gè)常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：
解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代數(shù)式中，消去xy，然后化簡(jiǎn)．所以
解 因?yàn)?/font>a=3b，所以
將a，c代入所求代數(shù)式，化簡(jiǎn)得
解 因?yàn)?/font>(x-5)2，｜m｜都是非負(fù)數(shù)，所以由(1)有
由(2)得y+1=3，所以y=2．
下面先化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，然后再代入求值．
=x2y+5m2x+10xy2
=52×2+0+10×5×22=250
例6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．
分析 此題可以用方程組求出a，b的值，再分別代入14a-2b求值．下面介紹一種不必求出a，b的值的解法．
解 14a-2b=2(7a-b)
=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]
=2[(4a-3b)+(3a+2b)]
=2(7+19)=52．
｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．
分析 所求代數(shù)式中六個(gè)絕對(duì)值的分界點(diǎn)，分別為：0，1，2，
據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值的符號(hào)，將有3個(gè)x和3個(gè)-x，這樣將抵消掉x，使求值變得容易．
原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)
=-1-2+3+4+5=9．
說(shuō)明 實(shí)際上，本題只要x的值在2與3之間，那么這個(gè)代數(shù)式的值就是9，即它與x具體的取值無(wú)關(guān)．
例8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？
分析 x:y:z=3:4:7可以寫成
的形式，對(duì)于等比，我們通?？梢栽O(shè)它們的比值為常數(shù)k，這樣可以給問(wèn)題的解決帶來(lái)便利．
因?yàn)?/p>
所以
所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以
例9 已知x=y=11，求
分析 本題是可直接代入求值的．下面采用換元法，先將式子改寫得較簡(jiǎn)潔，然后再求值．
解 設(shè)x+y=m，xy=n．
原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)
=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n
=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2
=(n+1)2-2m(n+1)+m2
=(n+1-m)2
=(11×11+1-22)2
=(121+1-22)2
=1002=10000．
說(shuō)明 換元法是處理較復(fù)雜的代數(shù)式的常用手法，通過(guò)換元，可以使代數(shù)式的特征更加突出，從而簡(jiǎn)化了題目的表述形式．
1．求下列代數(shù)式的值：
(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；
的值．
3．已知a=3.5，b=-0.8，求代數(shù)式
4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．
5．已知